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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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2. Calcule, si es posible, los límites cuando x→+∞x\rightarrow+\infty y cuando x→−∞x\rightarrow-\infty de las siguientes funciones:
g) f(x)=ex+1+43−2exf(x)=\frac{e^{x+1}+4}{3-2 e^{x}}

Respuesta

Límite en −∞-\infty

lim⁡x→−∞ex+1+43−2ex \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{e^{x+1}+4}{3-2 e^{x}}

La clave para resolver este límite es acordarnos que e−∞=0e^{-\infty} = 0. Por lo tanto ex+1e^{x+1} tiende a 00 en este caso, y lo mismo pasa con −2ex-2e^x. Entonces,

lim⁡x→−∞ex+1+43−2ex=43 \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{e^{x+1}+4}{3-2 e^{x}} = \frac{4}{3}

Límite en +∞+\infty

lim⁡x→+∞ex+1+43−2ex \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{x+1}+4}{3-2 e^{x}}

Ojo, porque ahora e+∞=+∞e^{+\infty} = +\infty y estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Si sacamos factor común exe^x nos queda:

lim⁡x→+∞ex+1+43−2ex=lim⁡x→+∞ex⋅e+43−2ex=lim⁡x→+∞ex(e+4ex)ex(3ex−2)==lim⁡x→+∞e+4ex3ex−2=−e2 \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{x+1}+4}{3-2 e^{x}} = \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{x} \cdot e+4}{3-2 e^{x}} = \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{x}(e + \frac{4}{e^x})}{e^x(\frac{3}{e^x} - 2)} = = \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{e + \frac{4}{e^x}}{\frac{3}{e^x} - 2} = -\frac{e}{2}
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